如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30。，斜边AC上的中线BD=2，现沿BD将△BCD折起成三棱锥C-ABD，已知G是线段BD的中点，E，F分别是CG，AG的中点．
（1）求证：EF／／平面ABC；
（2）三棱锥C—ABD中，若棱AC=
，求三棱锥A一BCD的体积．
（1）证明过程详见解析；（2）
.
解析试题分析：本题主要以平面图形的翻折为几何背景，考查三棱锥中的线线平行、线面平行、线面垂直以及三棱锥的体积等数学知识，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.第一问，由题意得EF//AC，利用线面平行的判定得线面平行；第二问，在
中，利用余弦定理可以求出AG的边长，在
中，利用三个边长的关系，可判断出
，所以利用线面垂直的判定可以得到
平面ABD，所以CG是锥体的高，利用等体积法将
转化为
，从而求出锥体的体积.
试题解析：(1) 证明：⑴ EF是
的中位线
EF//AC 3分
又AC
平面ABC EF
平面ABCEF//平面ABC 6分
⑵在中，
，由余弦定理得：
， 8分
而
即CG
AG，又CGBD 
平面ABD 10分
12分
考点：1.线面平行的判定；2.线面垂直的判定；3.余弦定理；4.等体积法.
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.
(1)求证:平面PBC⊥面PDC
(2)设E为PC上一点,若二面角B-EA-P的余弦值为-
,求三棱锥E-PAB的体积.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，△
中，
，
，
，在三角形内挖去一个半圆（圆心
在边
上，半圆与
、
分别相切于点
、
，与交于点
），将△绕直线旋转一周得到一个旋转体．
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点
是母线
的中点，
是底面圆的直径，半径
与母线
所成的角的大小等于
．
（1）求圆锥的侧面积和体积．
（2）求异面直线
与
所成的角；
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图,直三棱柱ABC
A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=
,AA′=1,点M,N分别为
A′B和B′C′的中点.
(1)证明:MN∥平面A′ACC′;
(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=
Sh,其中S为底面面积,h为高)
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC,设AD中点为P.
(1)当E为BC中点时,求证:CP∥平面ABEF;
(2)设BE=x,问当x为何值时,三棱锥ACDF的体积有最大值?并求出这个最大值.
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中，底面
为直角梯形，且
，
，平面
底面
为
的中点，
是棱
的中点，
.
平面
；
的体积.
的边长为2，
为正三角形，现将
向上折起，折起后的点
记为
，且
，连接
．
为
平面
；
的体积．