Question

8．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=1，AB=AC=$\sqrt{2}$，D为BC的中点，过点D作DQ∥AP，且DQ=1，连结QB，QC，QP．
（1）证明：AQ⊥平面PBC；
（2）求二面角B-AQ-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AD，PD，PD∩AQ=O，推导出四边形PADQ为正方形，从而AQ⊥DP，由线面垂直得PA⊥BC，由等腰三角形性质得AD⊥BC，从而AQ⊥BC，由此能证明AQ⊥平面PBC．
（2）由AQ⊥平面PBC，连结OB，OC，则∠BOC为二面角B-AQ-C的平面角，由此能求出二面角B-AQ-C的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）如图，连结AD，PD，PD∩AQ=O，
∵AB⊥AC，AB=AC=$\sqrt{2}$，D为BC中点，∴AD=1，
∵PA⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴PA⊥AD，
∵PA⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴PA⊥AD，
∵PA=AD=1，∴四边形PADQ为正方形，∴AQ⊥DP，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
∵D为线段BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，
又AD∩PA=A，∴BC⊥平面APQD，
∵AQ?平面APQD，∴AQ⊥BC，
∵DP∩BC=D，∴AQ⊥平面PBC．
解：（2）由（1）知AQ⊥平面PBC，连结OB，OC，
则∠BOC为二面角B-AQ-C的平面角，
由题意知PA=BD=1，OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OB=OC=$\sqrt{O{D}^{2}+B{D}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}+1}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠BOC=$\frac{O{B}^{2}+O{C}^{2}-B{C}^{2}}{2•OB•OC}$=$\frac{\frac{6}{4}+\frac{6}{4}-4}{2•\frac{\sqrt{6}}{2}•\frac{\sqrt{6}}{2}}$=-$\frac{1}{3}$，
∴二面角B-AQ-C的平面角的余弦值为-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．