Question

【题目】求最小的正整数，使得当正整数点时，在前个正整数构成的集合中，对任意总存在另一个数且，满足为平方数．

Answer 1

【答案】7

【解析】

易知当时，在中，数2与其他任何数之和皆不是平方数；

以下证明，的最小值为7．

如果正整数、满足：平方数，就称是一个“平方对”，

显然在中，，，，为平方对．

在中增加了平方对；

在中平加了平方对．

以下采用归纳法，称满足题中条件的为具有性质；简记为．

据以上知，当时，均有．

设已证得，当时，皆有，今考虑情况，利用归纳假设，只需证，当，其中时，均有．

首先，在，即时，构成平方对，

这是由于，

而由，知，即．

在时，构成平方对，

这是由于，

而，所以．

因此对于满足的每个，皆有，

从而对所有满足的正整数，皆有，

即对一切正整数，均有．所以的最小值为7．