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【题目】已知函数f(x)满足f(xy)=f(xf(y),且f(1)=.

(1)nN,求f(n)的表达式;

(2)annf(n),nN,求证:a1a2+…+an<2.

【答案】(1)(2)见解析

【解析】

(1)利用f(x+y)=f(x)f(y)(x,yR)通过令x=n,y=1,说明{f(n)}是以f(1)=为首项,公比为的等比数列求出;(2)利用(1)求出an=nf(n)的表达式,利用错位相减法求出数列的前n项和,即可说明不等式成立.

(1)解:f(n)=f[(n-1)+1]

f(n-1)·f(1)=f(n-1).

∴当n≥2时,.

f(1)=

∴数列{f(n)}是首项为,公比为的等比数列,

f(n)=f(1)·()n1=()n.

(2)证明(1)可知

ann·()nn·

Sna1a2+…+an

Sn+2×+3×+…+(n-1)·n·

Sn+2×+…+(n-2)·+(n-1)·n·.

②得

Sn+…+n·

=1-

Sn=2-<2.

a1a2+…+an<2.

【点睛】

本题考查数列与函数的关系,数列通项公式的求法和的求法,考查不等式的证明,裂项法与错位相减法的应用,数列通项的求法中有常见的已知的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等.

型】解答
束】
22

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1a (a≠3),an1Sn+3nnN.

(1)bnSn-3n,求数列{bn}的通项公式;

(2)an1annN,求a的取值范围.

【答案】(1)bn= (a-3)2n1(2)[-9,+∞).

【解析】

Ⅰ)由题意可知bnSn-3nSn+1Snan+1Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),bn+1=2bn,则{bn}是首项是a﹣3,公比为2的等比数列,即可求得数列{bn}的通项公式;(Ⅱ先求得数列an通项an=2×3n-1+(a-3)2n-2,将数列表达式代入不等式an+1an,得到a≥3-12·()n-2根据指数的单调性得到a的范围.

(1)依题意Sn1Snan1Sn+3n

Sn1=2Sn+3n

由此得Sn1-3n1=2(Sn-3n),即{Sn-3n}是以a-3为首项,以2为公比的等比数列.

因此,所求通项公式为bnSn-3n=(a-3)2n1nN.

(2)由①知Sn=3n+(a-3)2n1nN

于是,当n≥2时,anSnSn1

=3n+(a-3)×2n1-3n1-(a-3)×2n2

=2×3n1+(a-3)2n2

an1an=4×3n1+(a-3)2n2

=2n2[12·()n2a-3],

n≥2时,an1an12·()n2a-3≥0

a≥3-12·()n2a≥-9.

a2a1+3>a1

综上,所求的a的取值范围是[-9,+∞).

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