Question

20．已知数列{a_n}满足a₁a₂a₃…a_n=2${\;}^{{n}^{2}}$（n∈N*），且对任意n∈N*都有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜t，则t的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，+∞）
• B． [$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{2}{3}$，+∞）
• D． [$\frac{2}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁a₂a₃…a_n=2${\;}^{{n}^{2}}$（n∈N*），n=1时，a₁=2；n≥2时，a₁a₂a₃…a_n-1=${2}^{（n-1）^{2}}$，可得a_n=2^2n-1．即$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$，利用等比数列的求和公式与放缩法即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁a₂a₃…a_n=2${\;}^{{n}^{2}}$（n∈N*），
∴n=1时，a₁=2；n≥2时，a₁a₂a₃…a_n-1=${2}^{（n-1）^{2}}$，可得a_n=2^2n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$，数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$为等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}$$（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$$＜\frac{2}{3}$．
∵对任意n∈N*都有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜t，则t的取值范围为$[\frac{2}{3}，+∞）$．
故选：D．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．