Question

设a和b分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，且随机变量ξ表示方程ax²+bx+1=0的实根的个数（相等的两根算一个根）．
（1）求方程ax²+bx+1=0无实根的概率；
（2）求随机变量ξ的概率分布列；
（3）求在先后两次出现的点数中有4的条件下，方程ax²+bx+1=0有实根的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件根据分步计数原理知是36，满足条件的事件：方程无实根，则△=b²-4a＜0即b²＜4a，通过列举法得到所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率公式求出值．
（2）由题意知实根的个数只有三种结果，0、1、2，根据上一问的计算可以写出当变量取值时对应的概率，写出分布列．
（3）利用古典概型的概率公式求出事件“先后两次出现的点数中有4”的概率，利用条件概率的概率公式求出方程ax²+bx+1=0有实根的概率．

解答：解：基本事件总数为：6×6=36
（1）若方程无实根，则△=b²-4a＜0即b²＜4a
若a=1，则b=1，
若a=2，则b=1，2
若a=3，则b=1，2，3
若a=4，则b=1，2，3
若a=5，则b=1，2，3，4
若a=6，则b=1，2，3，4
∴目标事件个数为1+2+3+3+4+4=17
因此方程ax2+bx+1=0有实根的概率为

17

36

…（6分）
（2）由题意知，ξ=0，1，2，
则P(ξ=0)=

17

36

，P(ξ=1)=

2

36

=

1

18

，P(ξ=2)=

17

36

，
故ξ的分布列为

（3）记“先后两次出现的点数中有4”为事件M，
“方程ax²+bx+1=0有实根”为事件N，则
P(M)=

11

36

，P(MN)=

5

36

，P(N/M)=

P(MN)

P(M)

=

5 36

11 36

=

5

11

…（4分）

点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点，本题考查一元二次方程的解．