Question

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2

2

．
（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离．
（Ⅱ）在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为

2 6

9

，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2

2

，底面ABCD是矩形，我们易求出棱锥V_P-BCD的体积，再根据V_P-BCD=V_C-PBD，我们只要求出△PBD的面积，然后代入棱锥体积公式，即可求出点C到平面PBD的距离．
（II）以A为原点，分别以AB，AD，AP为X，Y，Z轴的正方向建立空间坐标系，则我们易给出各个点的坐标，进而求出CQ的方向向量和平面PBD的法向量，然后根据CQ的方向向量和平面PBD的法向量的夹角的余弦值等于CQ与平面PBD所成的角的正弦值，构造方程，即可求出Q的坐标．

解答：解：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=2

2

，
∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC．（1分）
∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=2

2

（2分）
设C到面PBD的距离为d，由V_P-BCD=V_C-PBD，
有

1

3

•S△BCD•PA=

1

3

•S△PBD•d，
即

1

3

×

1

2

×2×2×2=

1

3

•

1

2

(2

2

)2•sin600•d，（4分）
得d=

2

3

3

（5分）

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系
因为Q在DP上，所以可设

DQ

=λ

DP

(0＜λ＜1)，（6分）
又∵

DP

=(0，-2，2)，

AQ

=

AD

+

DQ

=

AD

+λ

DP

=(0，2，0)+(0，-2λ，2λ)=(0，2-2λ，2λ)
∴Q（0，2-2λ，2λ），∴

CQ

=(-2，-2λ，2λ)=2(-1，-λ，λ)．（8分）
易求平面PBD的法向量为

n

=(1，1，1)，（10分）
所以设CQ与平面PBD所成的角为θ，则有：sinθ=|cos?

CQ

，

n

＞|=

| CQ • n |

| CQ || n |

=

1

3 1+2λ2

（12分）
所以有

1

3 1+2λ2

=

2

9

6

，λ2=

1

16

，∵0＜λ＜1，∴λ=

1

4

（13分）
所以存在且|DQ|=

1

4

|DP|（14分）

点评：本题考查的知识点是空间点、线、面的距离计算，及直线与平面所成的解，（I）中利用V_P-BCD=V_C-PBD，是解答的关键，（II）中求出直线与平面的方向向量和平面的法向量，将线面夹角的正弦值，转化为两个向量的余弦是解答的关键．