Question

（2008•湖北模拟）已知f（x）=ax³+bx²+cx+d为奇函数，且在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y-16=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）+m的图象与x轴仅有一个公共点，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知f（x）为奇函数，利用奇函数的定义求得b，d．再利用导数的几何意义知在x=2处的导数等于切线的斜率，切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式．
（2）将题中条件：“y=f（x）+m的图象与x轴仅有一个公共点”等价于“g（x）=x³-3x+m的其图象和x轴只有一个交点”，利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）=x³-3x+m的其图象和x轴只有一个交点，得到关于m的不等关系，从而求实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴b=d=0，∴f（x）=ax³+cx∵f（x）过点（2，2），f'（x）=3ax²+c，
∴

2=8a+2c 9=12a+c

，
∴a=1，c=-3
∴f（x）=x³-3x（6分）
（2）设g（x）=f（x）+m，即g（x）=x³-3x+m，g'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
当x变化时，g'（x）变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以g'（x）的极大值2+m，极小值-2+m
要y=f（x）+m与x轴只有一个交点，只需-2+m＞0或2+m＜0
故当m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）时，y=f（x）+m与x轴只有一个交点（13分）．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．