Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对x1x2∈R，且x1＜x2 ， f（x1）≠f（x2），证明方程f（x）= 必有一个实数根属于（x1 ， x2）．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件
①当x=﹣1时，函数f（x）有最小值0；
②对任意x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤ 若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣1）=0，

∴a﹣b+c=0即b=a+c，

故△=b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2

当a=c时，△=0，函数f（x）有一个零点；

当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点

（2）解：令g（x）=f（x）﹣ ，

∵g（x1）=f（x1）﹣ =

g（x2）=f（x2）﹣ =

∴g（x1）g（x2）=

∵f（x1）≠f（x2），

故g（x1）g（x2）＜0

∴g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根．

即方程f（x）= 必有一个实数根属于（x1，x2）

（3）解：假设a，b，c存在，由①得 =﹣1， =0

∴b=2a，c=a．

由②知对任意x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤

令x=1得0≤f（1）﹣1≤0

∴f（1）=1

∴a+b+c=1

解得：a=c= ，b= ，

当a=c= ，b= 时，f（x）= x2+ x+ = （x+1）2，其顶点为（﹣1，0）满足条件①，

又f（x）﹣x= x2﹣ x+ = （x﹣1）2，对任意x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤ ，满足条件②．

∴存在a=c= ，b= ，使f（x）同时满足条件①、②．

【解析】（1）通过对二次函数对应方程的判别式进行分析判断方程根的个数，从而得到零点的个数；（2）若方程f（x）= 必有一个实数根属于（x1 ， x2），则函数g（x）=f（x）﹣ 在（x1 ， x2）必有一零点，进而根据零点存在定理，可以证明（3）根据条件①和二次函数的图象和性质，可得b=2a，c=a，令x=1，结合条件②，可求出a，b，c的值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和函数的零点的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能正确解答此题．