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已知m∈R,函数f(x)=mx-
m-1
x
-lnx
g(x)=
1
2
+lnx

(I)求g(x)的极小值;
(Ⅱ)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调增函数,求实数m的取值范围.
分析:(I)确定函数g(x)的定义域为(0,+∞),求导函数,确定函数的单调性,从而可求函数的极小值;
(Ⅱ)求导函数,y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调增函数,转化为y′=m+
m
x2
-
2
x
≥0
在[1,+∞)上恒成立,分离参数,利用基本不等式求最值,即可求实数m的取值范围;
解答:解:(Ⅰ)函数g(x)的定义域为(0,+∞).g′(x)=-
1
x2
+
1
x
=
x-1
x2

当x∈(0,1),g'(x)<0,当x∈(1,+∞),g'(x)>0.
∴x=1为极小值点.极小值g(1)=1.
(Ⅱ)∵y=mx-
m-1
x
-
1
x
-2lnx
=mx-
m
x
-2lnx

y′=m+
m
x2
-
2
x
≥0
在[1,+∞)上恒成立,
m≥
2x
x2+1
在x∈[1,+∞)上恒成立.
2x
x2+1
=
2
x+
1
x
≤1
,所以m≥1.
所以,实数m的取值范围为[1,+∞).
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查恒成立问题,考查不等式的证明,分离参数,确定函数的最值是关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex
(1)若函数f(x)没有零点,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)存在极大值,并记为g(m),求g(m)的表达式;
(3)当m=0时,求证:f(x)≥x2+x3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex
(Ⅰ)若m=-1,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数f(x)没有零点,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•大连一模)已知m∈R,函数f(x)=mx2-2ex
(Ⅰ)当m=2时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)有两极值点a,b(a<b),(ⅰ)求m的取值范围;(ⅱ)求证:-e<f(a)<-2.

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(2013•大连一模)已知m∈R,函数f(x)=mx2-2ex
(Ⅰ)当m=2时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求m的取值范围.

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已知m∈R,函数f(x)=mx-
m-1
x
-lnx
g(x)=
1
2
+lnx

(I)求g(x)的极小值;
(Ⅱ)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调增函数,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)证明:
ln2
2
+
ln3
3
+
ln4
4
+…+
lnn
n
n2
2(n+1)
(n∈N*)

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