Question

如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠BCD=60°BC=1，E为CD的中点，PC与平面ABCD成角60°．
（1）求证：平面EPB⊥平面PBA；　
（2）求二面角B-PD-A的大小．

Answer 1

（1）证明：∵E为CD的中点，BC=1，ABCD为菱形，
∴CE=，又∠BCD=60°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AB，又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BE，
∵PA?面PAB，AB?面PAB，PA∩AB=A，
∴BE⊥面PAB，
∵BE?面PBE，
∴面PBE⊥面PAB．
（2）解：过B点作BF⊥AD于F，过F作FM⊥PD于M，连接BM
∵BF⊥AD，BF⊥PA，
∴BF⊥面PAD，
∵BM为面PAD的斜线，MF为BM在面PAD的射影，
∴BM⊥PD，
∴∠BMF为二面角B-PD-A的平面角，
PC与面ABCD成角60°，∠PCA=60°，PA=3，BF=，MF=，
∴，
所以二面角B-PD-A为arctan．
分析：（1）由E为CD的中点，BC=1，ABCD为菱形，知CE=，又∠BCD=60°，所以∠BEC=90°，故BE⊥AB，又PA⊥平面ABCD，PA⊥BE，所以BE⊥面PAB，由此能够证明面PBE⊥面PAB．
（2）过B点作BF⊥AD于F，过F作FM⊥PD于M，连接BM，由BF⊥AD，BF⊥PA，知BF⊥面PAD，所以∠BMF为二面角B-PD-A的平面角，由此能求出二面角B-PD-A的大小．
点评：本题考查平面与平面垂直的证明和求二面角的大小，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意三垂线定理及其逆定理的灵活运用．