Question

已知函数f（x）=log₃x
（1）若函数f（x²-2ax+3）在区间[2，+∞）上单调递增，求正实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（ax）•f（ax²）=f（3）的解都在区间（0，1）内，求实数a的范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知函数f（x²-2ax+3）是由y=log₃t和t（x）=x²-2ax+3复合而来，由复合函数单调性结论，只要t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且f（x）＞0即可．
（2）将f（ax）•f（ax²）=f（3）用换元法转化关于t的一元二次方程2t²+（3log₃^a）t+（log₃^a）²-1=0，再利用根的分布来求解．

解答：解：（1）令t（x）=x²-2ax+3，由题意知：
t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且f（x）＞0

a≤2 t(2)=4-4a+3＞0

又a∈R⁺解得：0＜a＜

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4

（2）易知a＞0
f（ax）•f（ax²）=f（3）
令t=log₃^x
可化为关于t的一元二次方程
2t²+（3log₃^a）t+（log₃^a）²-1=0
只有负根

△=9( log a 3 )2-8(( log a 3 )2-1)≥0 - 3 log a 3 2 ＜0 ( log a 3 )2-1 2 ＞0

解得：log_a³＞1，
∴a＞3

点评：本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本．