Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点，
（1）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG；
（2）求证：平面AA₁C⊥面EFG．
（3）求异面直线AC与A₁B所成的角．

Answer 1

分析：（1）连结C₁D，利用三角形中位线定理和正方体的性质，证出FG∥AB₁，从而得出FG∥平面AB₁D₁，同理可得EF∥平面AB₁D₁，由面面平行判定定理可得平面A B₁D₁∥平面EFG；
（2）正方形ABCD中，证出EF⊥AC．利用线面垂直的定义，证出AA₁⊥EF，根据线面垂直判定定理得到EF⊥平面AA₁C，再由EF是平面EFG内的直线，可得平面AA₁C⊥平面EFG；
（3）连结A₁B、D₁C，则A₁B∥D₁C，可得∠ACD₁为异面直线AC与A₁B所成的角．再在正△ACD₁算出∠ACD₁=60°，即得异面直线AC与A₁B所成角的大小．

解答：解：（1）连结C₁D
∵△CC₁D中，F、G分别是CD、CC₁的中点，∴FG∥C₁D
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD

∥

.

B₁C₁，
∴四边形AD

∥

.

B₁C₁是平行四边形，可得AB₁∥C₁D
因此FG∥AB₁
∵FG?平面AB₁D₁，AB₁?平面AB₁D₁，∴FG∥平面AB₁D₁
同理可得EF∥平面AB₁D₁
∵FG、EF为平面EFG内的相交直线，∴平面A B₁D₁∥平面EFG；
（2）∵EF∥BD，ABCD为正方形，得BD⊥AC
∴EF⊥AC，
又∵正方体中，AA₁⊥面ABCD，EF?面ABCD，∴AA₁⊥EF，
∵AA₁、AC是平面AA₁C内的相交直线，
∴EF⊥平面AA₁C，
又∵EF?平面EFG，∴平面AA₁C⊥平面EFG．
（3）连结A₁B、D₁C，
∵在正方体中，A₁B∥D₁C，
∴∠ACD₁即为异面直线AC与A₁B所成的角；
∵△ACD₁的三边长都等于正方体的面对角线长，
∴△ACD₁正三角形，得∠ACD₁=60°，即异面直线AC与A₁B所成的角为60°．

点评：本题在正方体中求异面直线所成角大小，并证明线面垂直和面面平行．着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质、面面平行与垂直的判定定理等知识，属于中档题．