Question

以下是正弦函数的定义：
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r （r＞0），比值

y

r

叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=

y

r

；
请使用此定义，证明：（1）正弦函数的值域为[-1，1]；（2）函数f（α）=sinα是奇函数．

Answer 1

分析：（1）当α的终边没有落在坐标轴上时，根据直角三角形的性质斜边大于直角边，即r＞|y|，当α的终边落在x轴上时，y=0，当α的终边落在y轴上时，|y|=r，进而得到正弦函数的值域为[-1，1]．
（2）由题意可得：函数f（α）=sinα的定义域为：R，并且得到f（-α）=

-y

r

=-sinα=-f（α），进而得到此函数为奇函数．

解答：解：（1）当α的终边没有落在坐标轴上时，根据直角三角形的性质斜边大于直角边，即r＞|y|，
所以|

y

r

|＜1，并且|

y

r

|≠0，
当α的终边落在x轴上时，y=0，此时|

y

r

|=0，
当α的终边落在y轴上时，|y|=r，此时|

y

r

|=1，
所以|

y

r

|≤1，即正弦函数的值域为[-1，1]．
（2）由题意可得：函数f（α）=sinα的定义域为：R，
又因为f（-α）=

-y

r

=-sinα=-f（α），即f（-α）=-f（α），
所以函数f（α）=sinα是奇函数．

点评：此题主要考查正弦函数的定义与有关的性质，以及考查奇函数的定义，并且能够利用定义证明函数的奇偶性．