Question

已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.

（1）求数列{b_n}的通项b_n；

（2）设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1+)(其中a＞0，且a≠1)，记S_n是数列{a_n}的前n项和.试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论.

Answer 1

解析：（1）设数列{b_n}的公差为d，由题意得

∴b_n=3n-2.

（2）由b_n=3n-2知

S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)=log_a［(1+1)(1+)(1+)…(1+)］,log_ab_n+1

=log_a.

因此要比较S_n与log_ab_n+1的大小，可先比较（1+1）（1+）…（1+）与的大小.

取n=1,有（1+1）＞

取n=2，有（1+1）（1+）＞，

……

由此推测（1+1）（1+）…（1+）＞.                              ①

若①式成立，则由对数函数性质可断定：

当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1;

当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1.

下面用数学归纳法证明①式.

(ⅰ)当n=1时，已验证①式成立.

（ⅱ）假设当n=k(k≥1)时，①式成立，

即（1+1）（1+）…（1+）＞.

那么，当n=k+1时，

（1+1）（1+）…（1+）·［1+］＞(1+)=(3k+2).

∵［(3k+2)］³-()³

=

=＞0，

∴(3k+2)＞

=.

因而(1+1)(1+)…（1+）(1+)这就是说①式当n=k+1时也成立.

由（ⅰ）（ⅱ）知，①式对任何自然数n都成立.由此证得：

当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1

当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1.