【题目】已知函数,
(
),且曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求实数的值及函数
的最大值;
(2)当时,记函数
的最小值为
,求
的取值范围.
【答案】(1),最大值
.(2)
【解析】试题分析:(1)题设给出了在处的切线,也是
,从中解出
即可.(2)中要求
的最小值,因此要考虑
的单调性,也就是考虑
的符号的变化,但
的零点不易求得,所以利用(1)的结论先确定
在给定的范围上有唯一的零点,通过零点满足的关系式化简
在零点处的函数值表达式(也是
的最小值),最终求出最小值得范围.
解析:(1)函数的定义域为
,
,因
的图象在点
处的切线方程为
,所以
也即是
,解得
,所以
,故
.
令,得
,
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
所以当时,
取得最大值
.
(2)∵,∴
,令
,由(1)知道
在
是增函数,故
在
上为增函数,又
,
,因此存在唯一的
,使得
,也就是
即
.
当时,
,所以
,
单调递减;当
时,
,
单调递增,所以
的最小值为
.令
,因为
,所以
在
单调递减,从而
,即
的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】唐三彩,中国古代陶瓷烧制工艺的珍品,它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点,在中国文化中占有重要的历史地位,在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史,制作工艺十分复杂,它的制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立。某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工艺品,根据该厂全面治污后的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为,
,
,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为
,
,
.
(1)求第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为,求随机变量
的数学期望.
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【题目】已知圆锥曲线:
(
为参数)和定点
,
,
是此圆锥曲线
的左、右焦点.
(1)以原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线
的极坐标方程;
(2)经过且与直线
垂直的直线交此圆锥曲线
于
,
两点,求
的值.
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【题目】一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球,从中随机取出1个球,取出红球的概率为,取出黑球的概率为
,取出白球的概率为
,取出绿球的概率为
.求:
(1)取出的1个球是红球或黑球的概率;
(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.
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【题目】如图,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,
,侧棱
,点
分别为棱
的中点,
的重心为
,直线
垂直于平面
.
(1)求证:直线平面
;
(2)求二面角的余弦.
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【题目】己知四棱锥中,
平面
,底面
是菱形,且
.
,
、
的中点分别为
,
.
(Ⅰ)求证.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)在线段上是否存在一点
,使得
平行于平面
?若存在,指出
在
上的位置并给予证明,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是函数在区间
上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将y=sinx的图象
A. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的
,纵坐标不变
B. 向左平移至个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
C. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的
,纵坐标不变
D. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
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