Question

【题目】已知函数， （），且曲线在点处的切线方程为．

（1）求实数的值及函数的最大值；

（2）当时，记函数的最小值为，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），最大值．（2）

【解析】试题分析：（1）题设给出了在处的切线，也是，从中解出即可．（2）中要求的最小值，因此要考虑的单调性，也就是考虑的符号的变化，但的零点不易求得，所以利用（1）的结论先确定在给定的范围上有唯一的零点，通过零点满足的关系式化简在零点处的函数值表达式（也是的最小值），最终求出最小值得范围．

解析：（1）函数的定义域为， ，因的图象在点处的切线方程为，所以也即是，解得，所以，故．

令，得，

当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减．

所以当时， 取得最大值．

（2）∵，∴，令，由（1）知道在是增函数，故在上为增函数，又， ，因此存在唯一的，使得，也就是即．

当时， ，所以， 单调递减；当时， ， 单调递增，所以的最小值为．令，因为，所以在单调递减，从而，即的取值范围是．