Question

如图，线段AB过y轴上一点N（0，m），AB所在直线的斜率为k（k≠0），两端点A，B到y轴的距离之差为4k．
（1）求出以y轴为对称轴，过A，O，B三点的抛物线方程；
（2）过抛物线的焦点F作动弦CD，过C，D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出

FC • FD

FM 2

的值．

Answer 1

分析：（1）设出直线AB的方程和抛物线的方程，及A，B点坐标，根据图象可推断出由图可知x₁＞0，x₂＜0且|x₁|-|x₂|=4k，进而求得x₁+x₂，进而根据韦达定理求得x₁+x₂的表达式，最后建立等式求得p，则抛物线方程可得．
（2）设出C，D坐标，进而可表示出过C，D两点的切线的方程，求得两条切线的交点，设CD的直线方程代入抛物线方程消去y，进而求得才C，D两点横坐标的积，求得点M的横坐标，推断出点M的轨迹方程，表示出

FC

，

FD

和

FM

2进而求得

FC • FD

FM 2

的值．

解答：解：（1）AB所在直线方程为y=kx+m，抛物线方程为x²=2py，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵由图可知x₁＞0，x₂＜0．|x₁|-|x₂|=4k，
即x₁+x₂=4k．
把y=kx+m代入x²=2py得x²-2pkx-2pm=0，
∴x₁+x₂=2pk．
∴2pk=4k，
∴p=2．
故所求抛物线方程为x²=4y．
（2）设C(x3，

1

4

x

2 3

)，D(x4，

1

4

x

2 4

)．
过抛物线上C、D两点的切线方程分别是y=

1

2

x3x-

1

4

x32，y=

1

2

x4x-

1

4

x

2 4

．
∴两条切线的交点M的坐标为（

x3+x4

2

，

x3x4

4

）．
设CD的直线方程为y=nx+1，代入x²=4y得x²-4nx-4=0．
∴x₃x₄=-4，
故M的坐标为（

x3+x4

2

，-1）．
故点M的轨迹为y=1．
∴

FC

=(x3，

1

4

x

2 3

-1)，

FD

=(x4，

1

4

x

2 4

-1)
∵

FC

•

FD

=x3x4+

1

4

x

2 3

•

1

4

x

2 4

-

1

4

(

x

2 3

+

x

2 4

)+1=x3x4+1-

1

4

(

x

2 3

+

x

2 4

)+1=-

1

4

(

x

2 3

+

x

2 4

)-2
而

FM

2=(

x3+x4

2

-0)2+(-1-1)2=

x 2 3 + x 2 4 +2x3x4

4

+4=

1

4

(

x

2 3

+

x

2 4

)+2，

FC • FD

FM 2

=-1

点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，直线方程，向量的基本运算．