Question

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（3，0）、C（cosα，sinα）且

AC

•

BC

=-

1

2

．求：
（Ⅰ）sinα+cosα的值；
（Ⅱ）

sin(π-4α)•cos2(π-α)

1+sin( π 2 +4α)

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

AC

•

BC

=-

1

2

可得 （cosα-3）cosα+sinα （sinα-3）=-

1

2

，化简可得sinα+cosα的值．
（Ⅱ）由于 sinα+cosα=

1

2

，平方可得 2sinαcosα=-

3

4

．化简要求的式子为2sinαcosα，从而得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由

AC

•

BC

=-

1

2

可得 （cosα-3）cosα+sinα （sinα-3）=-

1

2

，即 1-3（sinα+cosα）=-

1

2

，∴sinα+cosα=

1

2

．
（Ⅱ）∵sinα+cosα=

1

2

，平方可得 2sinαcosα=-

3

4

．
∴

sin(π-4α)•cos2(π-α)

1+sin( π 2 +4α)

=

sin4α•cos2α

1+cos4α

=

2sin2α•cos2α•cos2α

1+2cos22α-1

=sin2α=2sinαcosα=-

3

4

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，同角三角函数的基本关系以及诱导公式的应用，属于中档题．