Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量 =（2a，1）， =（2b﹣c，cosC），且 ∥ ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若 ，求b+c的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）向量 =（2a，1）， =（2b﹣c，cosC），且 ∥ ；∴2acosC﹣（2b﹣c）=0，
即2acosC=2b﹣c；
由正弦定理得，2sinAcosC=2sinB﹣sinC，
即2sinAcosC=2sin（A+C）﹣sinC，
∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC﹣sinC，
化简得2cosAsinC=sinC，
即cosA= ；
又A∈（0，π），
∴A= ；
（Ⅱ）△ABC中，A= ，a= ，
设△ABC外接圆的直径为2r，
由正弦定理得2r= = =2，
∴b+c=2sinB+2sinC
=2[sin（120°﹣C）+sinC]
=4sin60°cos（60°﹣C）
=2 cos（60°﹣C）；
∵﹣60°＜60°﹣C＜60°，
∴1≥cos（60°﹣C）＞ ，
∴2 ≥2 cos（60°﹣C）＞ ，
即b+c的取值范围是（ ，2 ]
【解析】（Ⅰ）根据平面向量的坐标运算与共线定理，利用正弦定理与三角形的内角和定理，即可求出A的值；（Ⅱ）利用正弦定理求出b+c的表达式，再根据角C的取值范围，即可求出b+c的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义和余弦定理的定义，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此题．