Question

知动点P（a，b）在区域

2x-y-4≤0 x-y≥0 y≥0

上运动．
（Ⅰ）若w=

a+b-3

a-1

，求w的范围
（Ⅱ）求覆盖此区域的面积最小的圆的方程．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用分式的性质将分式w=

a+b-3

a-1

进行化简，利用斜率的几何意义，即可求w的范围
（Ⅱ）利用待定系数法即可求出圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）w=

a+b-3

a-1

=

a-1+b-2

a-1

=1+

b-2

a-1

，
设k=

b-2

a-1

，则k的几何意义为点P到定点N（1，2）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则ON的斜率k=2，
由

2x-y-4=0 x-y=0

，解得

x=4 y=4

，即A（4，4），
则NA的斜率k=

4-2

4-1

=

2

3

．
由k的取值范围是k≥2或≤

2

3

．
则1+k≥3或1+k≤

5

3

．
即w≥3或w≤

5

3

．
（Ⅱ）若覆盖此区域的面积最小的圆，
则此时过点O，B（2，0），A（4，4）三点的圆即可．
设圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则

F=0 4+2D=0 16+16+4D+4E=0

，解得

D=-2 E=-6 F=0

，
圆的一般方程为x²+y²-2x-6y=0．

点评：本题主要考查线性规划的应用以及圆的方程的求解．利用数形结合以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键．