Question

15．已知凼数f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函数，且f（1）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在（0，1）上是单调递减的．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义求出c，利用f（1）=2，求出b，即可求f（x）的解析式；
（2）利用导数小于0，证明函数f（x）在（0，1）上是单调递减的．

解答 （1）解：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即$\frac{{x}^{2}+1}{-bx+c}$=-$\frac{{x}^{2}+1}{bx+c}$，
∴c=0，
∵f（1）=2，
∴$\frac{2}{b}$=2，
∴b=1，
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$；
（2）证明：f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
∴x∈（0，1），f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
∴函数f（x）在（0，1）上是单调递减的．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．