Question

已知数列是各项均为正数的等差数列，公差为d（d 0）．在之间和b,c之间共插入个实数，使得这个数构成等比数列，其公比为q．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若插入的n个数中，有s个位于a,b之间，t个位于b,c之间，且都为奇数，试比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积（用表示）.

Answer 1

解：（1）由题意知，，         
又，可得，         ………………………………2分
即，故，又是正数，故．………………………………4分
（2）由是首项为1、公差为的等差数列，故，
若插入的这一个数位于之间，则，，
消去可得，即，其正根为．………7分
若插入的这一个数位于之间，则，，
消去可得，即，此方程无正根．
故所求公差．　　　　　　　　 　………………………………………9分
（3）由题意得，，又，
故，可得，又，
故，即．
又，故有，即．　 　………………………………………12分
设个数所构成的等比数列为，则，
由…，，可得
……， ……………………14分
又，，
由都为奇数，则q既可为正数，也可为负数，
①若q为正数，则…，插入n个数的乘积为；
②若q为负数，…中共有个负数，
故…，所插入的数的乘积为．
所以当N*)时，所插入n个数的积为；
当N*）时，所插入n个数的积为． …………………18分
（另法：由又，，
由都为奇数，可知是偶数，q既可为正数也可为负数．
……　        
①若q为正数，则…，
故插入n个数的乘积为；                       …………………15分
②若q为负数，由是偶数，可知的奇偶性与的奇偶性相同，
可得…．
所以当N*)时，所插入n个数的积为；
当N*）时，所插入n个数的积为．　…………………18分）

略