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定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求证f(x)为奇函数;

(2)若f(k·3)+f(3-9-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.

 

【答案】

(1)见解析

(2) R恒成立.

【解析】(1)证明奇偶性根据定义,可根据x,y取值的任意性,给x,y赋值,显然可以令y=-x,所以需要令x=y=0,求出f(0)的值.问题基本就可以解决.

(2)本小题可根据奇函数这个条件把不等式转化为,然后再研究函数f(x)的单调性,利用单调性把不等式中函数值的大小关系转化为变量的大小关系,从而脱掉法则符号f,求解即可

(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),     ①

令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.

令y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有

0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.

(2)解:f(3)=log3>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数.

f(k·3)<-f(3-9-2)=f(-3+9+2),  k·3<-3+9+2,

3-(1+k)·3+2>0对任意x∈R成立.

令t=3>0,问题等价于t-(1+k)t+2>0对任意t>0恒成立.

R恒成立

 

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15、已知定义在R上的单调函数f(x)满足:存在实数x0,使得对于任意实数x1,x2,总有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立,则(i)f(1)+f(0)=
0
(ii)x0的值为
1

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2-xx
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(2)数列{an}满足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)

①求通项公式an的表达式;
②令bn=(
1
2
)anSn=b1+b2+…+bnTn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
,试比较Sn
4
3
Tn
的大小,并加以证明;
③当a>1时,不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
12
35
(log a+1x-log ax+1)
对于不小于2的正整数n恒成立,求x的取值范围.

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(2013•广州三模)已知定义在R上的单调函数f(x),存在实数x0使得对任意实数x1,x2,总有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立.
(1)求x0的值;
(2)若f(x0)=1,且对任意的正整数n.有an=
1
f(n)
bn=f(
1
2n
)+1
,记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,比较
4
3
Sn
与Tn的大小关系,并给出证明.

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