考点:三角函数中的恒等变换应用
专题:三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析:利用三角函数中的恒等变换应用,可得f(x)=λ
•
-λ|
+
|•sin2x=
λcos(4x+
),利用余弦函数的单调性即可求得f(x)=λ
•
-λ|
+
|•sin2x(λ≠0)的单调区间.
解答:
解:∵x∈[0,
],
∴2x∈[0,
],
∴|cos2x|=cos2x,
∴f(x)=λ
•
-λ|
+
|•sin2x
=λ(cos3xcosx-sin3xsinx)-λ|(cos3x+cosx),(sin3x-sinx)|•sin2x
=λcos4x-λsin2x•
| (cos3x+cosx)2+(sin3x-sinx)2 |
=λcos4x-λsin2x•
=λcos4x-λsin2x•2|cos2x|
=λcos4x-λsin2x•2cos2x
=λ(cos4x-sin4x)
=
λcos(4x+
).
由2kπ-π≤4x+
≤2kπ(k∈Z)得:
-
≤x≤
-
(k∈Z);
由2kπ≤4x+
≤2kπ+π(k∈Z)得:
-
≤x≤
+
(k∈Z);
当λ>0时,f(x)的递增区间为[
-
,
-
],递减区间为[
-
,
+
](k∈Z);
当λ<0时,f(x)的递减区间为[
-
,
-
],递增区间为[
-
,
+
](k∈Z).
点评:本题考查三角函数中的恒等变换应用,着重考查向量的坐标运算及二倍角的正弦、余弦公式的应用,考查余弦函数的单调性质,考查综合运算、求解能力,属于难题.