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【题目】如图,圆柱的轴截面是边长为2的正方形,点是圆弧上的一动点(不与重合),点是圆弧的中点,且点在平面的两侧.

1)证明:平面平面

2)设点在平面上的射影为点,点分别是的重心,当三棱锥体积最大时,回答下列问题.

(ⅰ)证明:平面

(ⅱ)求平面与平面所成二面角的正弦值.

【答案】1)见解析(2)(ⅰ)见解析(ⅱ)

【解析】

1)证明垂直平面内的两条相交直线,再利用面面垂直的判定定理证明即可;

2)当三棱锥体积最大时,点为圆弧的中点,所以点为圆弧的中点,所以四边形为正方形,且平面.)连接并延长交于点,连接并延长交于点,连接,则,再由线面平行的判定定理证得结论;()由平面垂直,所以以为坐标原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,平面的法向量,求两向量夹角的余弦值,进而得到二面角的正弦值.

1)因为是轴截面,所以平面,所以

又点是圆弧上的一动点(不与重合),且为直径,所以

平面平面,所以平面,而平面,故平面平面.

2)当三棱锥体积最大时,点为圆弧的中点,所以点为圆弧的中点,所以四边形为正方形,且平面.

)连接并延长交于点,连接并延长交于点,连接,则

因为分别为两个三角形的重心,

所以,又平面平面,所以平面.

平面垂直,所以以为坐标原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示:

,设平面的法向量,则可取

又平面的法向量

所以,所以.

所以平面与平面所成二面角的正弦值为.

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①总体看女性处理多任务平均用时更短;

②所有女性处理多任务的能力都要优于男性;

③男性的时间分布更接近正态分布;

④女性处理多任务的用时为正数,男性处理多任务的用时为负数.

A.①④B.②③C.①③D.②④

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拥有驾驶证

没有驾驶证

合计

得分优秀

得分不优秀

25

合计

100

(1)补全上面的列联表,并判断能否有超过的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关?

(2)若规定参加调查的100人中分数在70以上(含70)的为“安全意识优良”,从参加调查的100人中根据安全意识是否优良,按分层抽样的方法抽出5人,再从5人中随机抽取3人,试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.

附表及公式:,其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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