【题目】如图,圆柱的轴截面是边长为2的正方形,点
是圆弧
上的一动点(不与
重合),点
是圆弧
的中点,且点
在平面
的两侧.
(1)证明:平面平面
;
(2)设点在平面
上的射影为点
,点
分别是
和
的重心,当三棱锥
体积最大时,回答下列问题.
(ⅰ)证明:平面
;
(ⅱ)求平面与平面
所成二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)(ⅰ)见解析(ⅱ)
【解析】
(1)证明垂直平面
内的两条相交直线
,再利用面面垂直的判定定理证明即可;
(2)当三棱锥体积最大时,点
为圆弧
的中点,所以点
为圆弧
的中点,所以四边形
为正方形,且
平面
.(ⅰ)连接
并延长交
于点
,连接
并延长交
于点
,连接
,则
,再由线面平行的判定定理证得结论;(ⅱ)由
平面
垂直
,所以以
为坐标原点,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量
,平面
的法向量
,求两向量夹角的余弦值,进而得到二面角的正弦值.
(1)因为是轴截面,所以
平面
,所以
,
又点是圆弧
上的一动点(不与
重合),且
为直径,所以
,
又平面
平面
,所以
平面
,而
平面
,故平面
平面
.
(2)当三棱锥体积最大时,点
为圆弧
的中点,所以点
为圆弧
的中点,所以四边形
为正方形,且
平面
.
(ⅰ)连接并延长交
于点
,连接
并延长交
于点
,连接
,则
,
因为分别为两个三角形的重心,∴
,
所以,又
平面
平面
,所以
平面
.
(ⅱ)平面
垂直
,所以以
为坐标原点,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则,设平面
的法向量
,则
即
可取
,
又平面的法向量
,
所以,所以
.
所以平面与平面
所成二面角的正弦值为
.
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【题目】如图,已知A,B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处,点C在A的正西方向1 km处,tan∠BAN=,∠BCN=
,.现计划铺设一条电缆连通A,B两镇,有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设;②在湖岸MN上选一点P,先沿线段AP在地下铺设,再沿线段PB在水下铺设,预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元km、4万元km.
(1)求A,B两镇间的距离;
(2)应该如何铺设,使总铺设费用最低?
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【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上,椭圆C上一点A(2,﹣1)到两焦点距离之和为8.若点B是椭圆C的上顶点,点P,Q是椭圆C上异于点B的任意两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若BP⊥BQ,且满足32
的点D在y轴上,求直线BP的方程;
(3)若直线BP与BQ的斜率乘积为常数λ(λ<0),试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点,请求出定点坐标;若不经过定点,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的长轴长为
,焦距为2,抛物线
的准线经过椭圆
的左焦点
.
(1)求椭圆与抛物线
的方程;
(2)直线经过椭圆
的上顶点且
与抛物线
交于
,
两点,直线
,
与抛物线
分别交于点
(异于点
),
(异于点
),证明:直线
的斜率为定值.
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【题目】为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异,召集了男女志愿者各200名,要求他们同时完成多个任务,包括解题、读地图、接电话.下图表示了志愿者完成任务所需的时间分布.以下结论,对志愿者完成任务所需的时间分布图表理解正确的是( )
①总体看女性处理多任务平均用时更短;
②所有女性处理多任务的能力都要优于男性;
③男性的时间分布更接近正态分布;
④女性处理多任务的用时为正数,男性处理多任务的用时为负数.
A.①④B.②③C.①③D.②④
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【题目】某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况,利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中的拥有驾驶证,先根据是否拥有驾驶证,用分层抽样的方法抽取了100名成年人,然后对这100人进行问卷调查,所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上(含80)的为“安全意识优秀”.
拥有驾驶证 | 没有驾驶证 | 合计 | |
得分优秀 | |||
得分不优秀 | 25 | ||
合计 | 100 |
(1)补全上面的列联表,并判断能否有超过
的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关?
(2)若规定参加调查的100人中分数在70以上(含70)的为“安全意识优良”,从参加调查的100人中根据安全意识是否优良,按分层抽样的方法抽出5人,再从5人中随机抽取3人,试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.
附表及公式:,其中
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】平面直角坐标系中,倾斜角为
的直线l过点
,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线的参数方程(
为常数)和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与
交于
,
两点,且
,求倾斜角
的值.
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