【题目】如图,在三棱柱中,侧棱底面,为的中点,.
(1)求证:平面;
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2)3
【解析】试题分析:(1)欲证平面,根据线面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行,连接,设与相交于点O,连接,根据中位线定理可知∥,平面,平面,满足定理所需条件;
(2)根据面面垂直的判定定理可知平面⊥平面,作,垂足为E,则⊥平面,然后求出棱长,最后根据四棱锥,的体积,即可求四棱锥的体积.
(1)证明:连接,设与相交于点,连接,
∵ 四边形是平行四边形,
∴点为的中点.
∵为的中点,
∴为△的中位线,
∴.
∵ 平面,平面,
∴平面.
(2)∵平面,平面,
∴ 平面 平面,且平面 平面 .
作,垂足为,则平面,
∵,,
在Rt△中,,,
∴四棱锥的体积
.
∴四棱锥的体积为.
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【题目】中国政府实施“互联网+”战略以来,手机作为客户端越来越为人们所青睐,通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式,“一机在手,走遍天下”的时代已经到来。在某著名的夜市,随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况,得到如下的列联表,已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人,抽到青年的概率为.
(1)根据已知条件完成列联表,并根据此资料判断是否有的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”?
(2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本,设事件为“从这个样本中任选2人,这2人中至少有1人是不使用手机支付的”,求事件发生的概率?
列联表
青年 | 中老年 | 合计 | |
使用手机支付 | 60 | ||
不使用手机支付 | 24 | ||
合计 | 100 |
附:
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【题目】如下图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
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【题目】已知是抛物线的焦点,关于轴的对称点为,曲线上任意一点满足;直线和直线的斜率之积为.
(1)求曲线的方程;
(2)过且斜率为正数的直线与抛物线交于两点,其中点在轴上方,与曲线交于点,若的面积为的面积为,当时,求直线的方程.
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【题目】椭圆()的左、右焦点分别为,,过作垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点,若,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点关于轴的对称点在抛物线上,是否存在直线与椭圆交于,使得的中点落在直线上,并且与抛物线相切,若直线存在,求出的方程,若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数()在同一半周期内的图象过点, , ,其中为坐标原点, 为函数图象的最高点, 为函数的图象与轴的正半轴的交点, 为等腰直角三角形.
(1)求的值;
(2)将绕原点按逆时针方向旋转角,得到,若点恰好落在曲线()上(如图所示),试判断点是否也落在曲线()上,并说明理由.
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【题目】若函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0, 的部分图象如图所示.
(I)设x∈(0, )且f(α)= ,求sin 2a的值;
(II)若x∈[]且g(x)=2λf(x)+cos(4x﹣)的最大值为,求实数λ的值.
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