Question

已知函数f(x)=

cos2x-sin2x

2

，g(x)=

3

sinxcosx
（1）函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象经过怎样的变化得出？请作出函数y=f（x）在x∈[0，2π]范围的简图．
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调减区间，最小值，并求使h（x）取得最小值的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换化简g（x）的解析式为

3

2

cos2（x-

π

4

），从而得到结论，并作出函数y=f（x）在x∈[0，2π]
范围的简图．
（2）化简函数h（x）=cos（2x+

π

3

），由 2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，k∈z，解得x的范围，即可得到减区间；由此可得
函数取得最小值时的x的集合．

解答：解：（1）函数f（x）=

1

2

cos2x，g（x）=

3

2

sin2x=

3

2

cos（2x-

π

2

）=

3

2

cos2（x-

π

4

），
故把函数g（x）的图象上的各点项左平移

π

4

个单位，再把各点的纵坐标变为原来的

1

3

倍，即可得到函数f（x）的图象．
函数y=f（x）在x∈[0，2π]范围的简图如题所示：

（2）∵函数h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=cos（2x+

π

3

），
由 2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，k∈z，解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z．
故函数h（x）的减区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．
当 2x+

π

3

=2kπ+π，即x=kπ+

π

3

，k∈z 时，函数h（x）有最小值为-1．
故使h（x）取得最小值的x的集合为{x|x=kπ+

π

3

，k∈z }．

点评：本题考查三角函数的图象特征和图象变换，求三角函数的最值，得到h（x）=cos（2x+

π

3

），是解题的关键．