Question

设函数F（x）和f（x）都在区间D上有定义，若对D的任意子区间[u，v]，总有[u，v]上的实数p和q，使得不等式f（p）≤

F(u)-F(v)

u-v

≤f（q）成立，则称F（x）是f（x）在区间D上的甲函数，f（x）是F（x）在区间D上的乙函数．已知F（x）=x²-3x，x∈R，那么F（x）的乙函数f（x）=

 

．

Answer 1

分析：由题设中函数的定义知

F(u)-F(v)

u-v

表示过两点（u，F（u）），（v，F（v））的直线的斜率，由导数的定义可知，满足题设条件的f（x）是F（x）在区间D上的导数，由此可求．

解答：解：知

F(u)-F(v)

u-v

表示过两点（u，F（u）），（v，F（v））的直线的斜率
v无限接近u时，

F(u)-F(v)

u-v

即f（x）在x=u点的切线斜率
此时，f（p）f（q）近似相等，且等于此斜率
所以f（x）为F（x）的导数（即f（x）的值是F（x）在x点的斜率）
由 F（x）=x²-3x，知f（x）=[F（x）]'=2x-3 
故答案为2x-3．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查导数的定义，本题在表述上十分隐蔽，审题时能联想到导数的定义是解决本题的关键，当然，能顺利联想到导数的定义必须理解导数的定义才行，由此可以看出，对基础知识掌握的水平能做题的影响，数学知识学习分为几个层次：了解?掌握?理解?灵活运用，学习时要注意理解知识的内涵．