Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且a1=2，an+1= Sn（n=1，2，3，…）．
（1）证明：数列{ }是等比数列；
（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为，an+1=Sn+1﹣Sn= Sn，

所以 =2 ，又a1=2，

故数列{ }是等比数列，首项为2，公比为2的等比数列．

（2）解：由（1）得： =2n，即Sn=n2n．

所以bn= = = = ﹣ ，

故数列{bn}的前n项和Tn= + +…+ =1﹣ = ．

【解析】（1）an+1=Sn+1﹣Sn= Sn，整理为 =2 ．即可证明．（2）由（1）得： =2n，即Sn=n2n．可得bn= = = = ﹣ ，利用裂项求和方法即可得出．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项a的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．