Question

【题目】如图，互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN，要求点M在射线AP上，点N在射线AQ上，且直线MN过点C，其中AB=36米，AD=20米．记三角形花园AMN的面积为S． （Ⅰ）问：DN取何值时，S取得最小值，并求出最小值；
（Ⅱ）若S不超过1764平方米，求DN长的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设DN=x米（x＞0），则AN=x+20． 因为DC∥AB，所以△NDC∽△NAM
所以 ，
所以 ，即 ．
所以
= ，当且仅当x=20时取等号．
所以，S的最小值等于1440平方米．
（Ⅱ）由 得x2﹣58x+400≤0．
解得8≤x≤50．
所以，DN长的取值范围是[8，50]
【解析】（Ⅰ）由于DC∥AB得出△NDC∽△NAM，从而AN，AM用DN表示，利用三角形的面积公式表示出面积，再利用基本不等式求最值，注意等号何时取得．（Ⅱ）由S不超过1764平方米，建立不等式，从而可求DN长的取值范围．