自然状态下的鱼类是一种可再生的资源.为了持续利用这一资源.需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年初的总量.n∈N*.且x1＞0．不考虑其他因素.设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与xn成正比.死亡量与xn2成正比.这些比例系数依次为正数a.b.c其中b称为捕捞强度．(1)求xn+1与xn的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x_n表示某鱼群在第n年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正数a，b，c其中b称为捕捞强度．
（1）求x_n+1与x_n的关系式；
（2）设a=2，c=1，为了保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度B的最大允许值是多少？证明你的结论．

分析：（1）依题意，x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cxn2，n∈N^*，整理即可；
（2）由x_n+1=x_n（3-b-x_n）＞0（n∈N^*）⇒0＜x_n＜3-b，特别地有0＜x₁＜3-b，从而可得0＜b＜3-x₁（x₁∈（0，2）），从而可得b∈（0，1]，利用数学归纳法去证当b=1时，恒有2＞x_n＞0，n∈N^*，由此确定b的允许最大值是1即可．

解答：解：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为cxn2，依题意：
x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cxn2，n∈N^*，
即x_n+1=x_n（a-b+1-cx_n），n∈N^*．
（2）若b的值使得x_n＞0，n∈N^*，
由x_n+1=x_n（3-b-x_n）＞0（n∈N^*）知0＜x_n＜3-b，特别地有0＜x₁＜3-b，
即0＜b＜3-x₁，
而x₁∈（0，2），所以b∈（0，1]，以下去证当b=1时，恒有2＞x_n＞0，n∈N^*，由此确定b的允许最大值是1．
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即x₁∈（0，2）．
则当n=k+1时，x_k+1=x_k（2-x_k）=1-(xk-1)2，
因为x_k∈（0，2），所以x_k+1∈（0，1）⊆（0，2）．
故当n=k+1时结论也成立．
由①②可知对于任意n∈N^*恒有2＞x_n＞0．
综上，为了保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的最大允许值是1．

点评：本题考查数列的递推关系，着重考查化归思想与抽象思维、创新思维，突出数学归纳法在推理、证明中的应用，属于难题．

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自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
（Ⅰ）求x_n+1与x_n的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅲ）设a=2，b=1，为保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论．

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　　自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

（Ⅰ）求x_n+1与x_n的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不

要求证明）

　（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的

最大允许值是多少？证明你的结论.

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(1)求x_n₊₁与x_n的关系式.

(2)猜测:当且仅当x₁、a、b、c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)

(3)设a=2,c=1,为保证对任意x₁∈(0,2),都有x_n＞0,n∈N ^*,则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论.

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