Question

（2013•唐山二模）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，AC为⊙O的直径，D为

BC

的中点，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．

Answer 1

分析：（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为

BC

的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；
（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式

AC

CD

=

AD

CE

．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．

解答：证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为

BC

的中点，所以BD=DC．
因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．
因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，
所以AB∥DE．…（5分）
（Ⅱ）因为D为

BC

的中点，所以∠BAD=∠DAC，
又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．
又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．
所以

AC

CD

=

AD

CE

，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，
因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）

点评：本题考查了直径所对的圆周角为直角及与圆有关的比例线段的知识．解题时，乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出．