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6.设△ABC的∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积S=$\frac{1}{4}$(3b2+7c2-2a2),则cos∠A=[-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$].

分析 由已知4S=3b2+7c2-2a2=2(b2+c2-a2)+b2+5c2,由此利用正弦定理和余弦定理得sinA$≥2cosA+2\sqrt{5}$,由此能求出cosA的取值范围.

解答 解:△ABC的∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积S=$\frac{1}{4}$(3b2+7c2-2a2),
∴4S=3b2+7c2-2a2=2(b2+c2-a2)+b2+5c2
∴2bcsinA=2bccosA+b2+5c2≥2bccosA+2$\sqrt{5}$bc,
∴sinA$≥2cosA+2\sqrt{5}$,
∵sinA∈[-1,1],cosA∈[-1,1],
∴-1-$\sqrt{5}$≤2cosA≤1-$\sqrt{5}$,
∴cosA∈[-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$].
故答案为:[-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$].

点评 本题考查角的余弦的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意正弦定理和余弦定理的合理运用.

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