Question

6．设△ABC的∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S=$\frac{1}{4}$（3b²+7c²-2a²），则cos∠A=[-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$]．

Answer 1

分析 由已知4S=3b²+7c²-2a²=2（b²+c²-a²）+b²+5c²，由此利用正弦定理和余弦定理得sinA$≥2cosA+2\sqrt{5}$，由此能求出cosA的取值范围．

解答 解：△ABC的∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S=$\frac{1}{4}$（3b²+7c²-2a²），
∴4S=3b²+7c²-2a²=2（b²+c²-a²）+b²+5c²，
∴2bcsinA=2bccosA+b²+5c²≥2bccosA+2$\sqrt{5}$bc，
∴sinA$≥2cosA+2\sqrt{5}$，
∵sinA∈[-1，1]，cosA∈[-1，1]，
∴-1-$\sqrt{5}$≤2cosA≤1-$\sqrt{5}$，
∴cosA∈[-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$]．
故答案为：[-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$]．

点评 本题考查角的余弦的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的合理运用．