Question

如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a_n．
（1）a₄=

 

（2）a_n=

 

．

Answer 1

分析：（1）直接求出n=1时a₁，n=2时a₂，n=3时a₃，n=4时a₄的值；
（2）依次对扇形区域染色求出a_n然后说明它与a_n+1（n≥2）的关系式，令n=1，2，3，4，…n时写出关系式，利用累加法求出数列{a_n}的通项公式a_n，

解答：解：（1）当n=1时，不同的染色方法种数a₁=3，
当n=2时，不同的染色方法种数a₂=3×2=6，
当n=3时，不同的染色方法种数a₃=3×2×1=6，
当n=4时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形，∴不同的染色方法种数a₄=3×1×2×2+3×2×1×1=18；
（2）依次对扇形区域1，2，3，…，n，n+1染色，不同的染色方法种数为3×2ⁿ（n≥2），其中扇形区域1与n+1不同色的有a_n+1种，扇形区域1与n+1同色的有a_n种，
∴a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）
∴a₂+a₃=3×2²，a₃+a₄=3×2³，…，a_n-1+a_n=3×2^n-1，将上述n-2个等式两边分别乘以（-1）^k（k=2，3，…，n-1），再相加得
a₂+（-1）^n-1a_n=3×2²-3×2³+…+3×（-1）^k×2^n-1=3×

22[1-(-2)n-1]

1-(-2)

，
∴a_n=2ⁿ+2•（-1）ⁿ．
故答案为：18；2ⁿ+2•（-1）ⁿ．

点评：本题考查排列组合的应用，数列的求和的基本方法，考查转化思想，计算能力，难度较大．