Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=3a_n-4n+3
（1）用a_n表示a_n+1；
（2）设b_n=a_n+2，证明{b_n}成等比数列；
（3）设cn=lo

g

b2n-1 3

，对任意给定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*（k＜p＜r）使

1

ck

，

1

cp

，

1

cr

成等差数列？若存在，用k分别表示p和r（只需要求出一组即可）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）在数列递推式中取n=n+1得另一递推式，作差后可用a_n表示a_n+1；
（2）求出数列{b_n}的首项，然后把已知的数列递推式变形可得{b_n}成等比数列；
（3）由（2）知，bn=3n，得到cn=lo

g

32n-1 3

=2n-1，然后分k=1和k≥2再由

1

ck

，

1

cp

，

1

cr

成等差数列讨论分析．

解答： （1）解：∵2S_n=3a_n-4n+3  ①，
∴2S_n+1=3a_n+1-4（n+1）+3 ②，
②-①，得2a_n+1=3a_n+1-3a_n-4，
∴a_n+1=3a_n+4；
（2）证明：a_n+1+2=3（a_n+2），∴b_n+1=3b_n，
在①中令n=1求出a₁=1，
∴b₁=a₁+2=3≠0，
进而推出b_n≠0，
∴

bn+1

bn

=3，
∴{b_n}成等比数列，首项为3，公比为3；
（3）解：由（2）知，bn=3n，∴cn=lo

g

32n-1 3

=2n-1，
当k=1时，若存在p，r使

1

ck

，

1

cp

，

1

cr

成等差数列，则

1

cr

=

2

cp

-

1

ck

=

3-2p

2p-1

，
∵p≥2，∴c_r＜0，与数列{c_n}各项为正数矛盾，
∴当k=1时不存在；
当k≥2时，设c_k=x，c_p=y，c_r=z，则

1

x

+

1

z

=

2

y

，
∴z=

xy

2x-y

，
令y=2x-1，得z=xy=x（2x-1），
此时c_k=x=2k-1，c_p=y=2x-1=2（2k-1）-1，
∴p=2k-1，cr=z=(2k-1)(4k-3)=2(4k2-5k+2)-1，
∴r=4k²-5k+2．
综上所述，当k=1时，不存在p，r；当k≥2时，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2满足题设．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等差数列的性质，训练了存在性问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．