Question

已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]，f（x）=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程y=kx+k+1（其中k为不等于1的实数）有四个不同的实根，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：利用函数的奇偶性和周期性可画出函数的图象，利用数形结合的思想解答．由已知需要先画出函数在[0，1]上的图象，再利用奇偶性画出在[-1，0]上的图象，利用周期性可画出在区间[-1，3]内的函数图象，即可解答本题．

解答：解：由已知可画出函数f（x）的图象，先画出f（x）在x∈[0，1]上的图象，利用偶函数画出
在x∈[-1，0]上的图象，再利用函数的周期性画出R上的图象，下面画出的是函数在x∈[-1，3]上
的图象，如图：

又可知关于x的方程y=kx+k+1（k≠1）恒过点（-1，1），在上图中画出直线L₀，L₁，L₂，显然当这些过定点（-1，1）
的直线位于L₀与L₂之间如L₁时，才能与函数f（x）有四个交点；又因为直线L₀与L₂的斜率为k₀=0和k₂=-

1

3

，因此k的
取值范围应为：-

1

3

＜k＜ 0
故答案为：(-

1

3

，0)

点评：本题考查函数的奇偶性，周期性以及综合应用，数形结合的思想，直线系方程的应用．