Question

11．求y=$\sqrt{{x}^{2}-2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$的值域．

Answer 1

分析 化简y=$\sqrt{{x}^{2}-2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+16}$，从而利用几何意义求解即可．

解答 解：y=$\sqrt{{x}^{2}-2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+16}$，
$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+16}$的几何意义是A（1，2）、C（x，0）的距离与B（2，-4）、C（x，0）的距离的和，如图，
故$\sqrt{（x-1）^{2}+4}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+16}$≥$\sqrt{（1-2）^{2}+（2+4）^{2}}$=$\sqrt{37}$，
故y=$\sqrt{{x}^{2}-2x+5}$+$\sqrt{{x}^{2}-6x+25}$的值域为[$\sqrt{37}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．