Question

在数列|a_n|中，若a₁·a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3,4,5,…，则称|a_n|为“绝对差数列”.

(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);

(Ⅱ)若“绝对差数列”|a_n|中，a₂₀=3，a₂₁=0，数列|b_n|满足b_n=a_n+a_n·1+a_n·2，n=1,2,3,….分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在.如果存在，求出其极限值；

(Ⅲ)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

Answer 1

(1)解：a₁=3,a₂=1,a₃=2,a₄=1,a₅=1,a₆=0,a₇=1,a₈=1,a₉=0,a₁₀=1.(答案不唯一)

(2)解：因为在绝对差数列{a_n}中，a₂₀=3,a₂₁=0，所以自第20项开始，该数列是a₂₀=3,a₂₁=0,a₂₂=3,a₂₃=3,a₂₄=0,a₂₅=3，a₂₆=3,a₂₇=0,….

    即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3.所以当n→∞时，a_n的极限不存在.

    当n≥20时，b_n=a_n+a_n+1+a_n+2=6，

    所以b_n=6.

(3)证明：根据定义，数列{a_n}必在有限项后出现零项，证明如下：

假设{a_n}中没有零项，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，所以对于任意的n，都有a_n≥1，从而

    当a_n-1＞a_n-2时，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1(n≥3)；

    当a_n-1＜a_n-2时，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1(n≥3).

    即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1.

    令c_n=n=1,2,3,…,

    则0＜c_n≤c_n-1-1(n=2,3,4,…).

    由于c₁是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c₁＜0，这与c_n＞0(n=1,2,3,…)矛盾.从而{a_n}必有零项.

    若第一次出现的零项为第n项，记a_n-1=A(A≠0)，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即

    所以绝对差数列{a_n}中有无穷多个为零的项.