Question

已知正项数列{a_n}的前n项和sn=

an2+an

2

，bn=(1+

1

2an

)an(n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）定理：若函数f（x）在区间D上是凹函数，且f'（x）存在，则当x₁＞x₂（x₁，x₂∈D）时，总有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜f′(x1)，请根据上述定理，且已知函数y=xⁿ⁺¹（n∈N*）是（0，+∞）上的凹函数，判断b_n与b_n+1的大小；
（Ⅲ）求证：

3

2

≤bn＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用a_n与_^Sn关系式变形得到a_n-a_n-1=1．所以数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．即可求出a_n=n
（Ⅱ）先求出b_n，可令x1=1+

1

2n

，x2=1+

1

2(n+1)

，再根据凹函数的定义得x₁ⁿ＜x₂^n+1，_即b_n＜b_n+1．
（Ⅲ）利用放缩法可证明，即先证明

C

n r

•(

1

2n

)r ≤(

1

2

)r，bn=(1+

1

2n

)n=1+

n

r=1

C

n r

(

1

2n

)r≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=2-(

1

2

)n＜2，再利用（2）中的结论b_n＜b_n+1．可证得bn=(1+

1

2n

)n≥

3

2

．

解答：解：（Ⅰ）n=1时，a1=s1=

a12+a1

2

⇒a1=0或a₁=1．
由于{a_n}是正项数列，所以a₁=1．
当n≥2时，an=sn-sn-1=

an2+an

2

-

an-12+an-1

2

，
整理，得a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）．
由于{a_n}是正项数列，∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
从而a_n=n，当n=1时也满足．
∴a_n=n（n∈N^*）．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=(1+

1

2n

)n．
对于（0，+∞）上的凹函数y=xⁿ⁺¹，有y'=（n+1）xⁿ．
根据定理，得

x1n+1-x2n+1

x1-x2

＜(n+1)x1n．（6分）
整理，得x₁ⁿ[（n+1）x₂-nx₁]＜x₂ⁿ⁺¹．
令x1=1+

1

2n

，x2=1+

1

2(n+1)

，得（n+1）x₂-nx₁=1．（8分）
∴x₁ⁿ＜x₂ⁿ⁺¹，即(1+

1

2n

)n＜[1+

1

2(n+1)

]n+1．
∴b_n＜b_n+1．（10分）
（Ⅲ）∵

C

r n

•(

1

2n

)r=

n

n

•

n-1

n

•

n-r+1

n

•

1

r

(

1

2

)r≤(

1

2

)r，
∴bn=(1+

1

2n

)n=1+

n

r=1

C

r n

(

1

2n

)r≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=2-(

1

2

)n＜2．
又由（Ⅱ），得bn＞bn-1＞…＞b2＞b1=

3

2

．
（或bn=(1+

1

2n

)n=1+

1

2

+

n

r=2

C

r n

(

1

2n

)r≥

3

2

．）
∴

3

2

≤bn＜2．（14分）

点评：此题考查等差数列的定义，及用放缩法证明不等式．