Question

（2012•唐山二模）在直角坐标系xOy中，长为

2

+1的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，

CP

=

2

PD

．记点P的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程；
（ II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，

OM

=

OA

+

OB

，当点M在曲线E上时，求cos＜

OA

，

OB

＞的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y），利用

CP

=

2

PD

，可得坐标之间的关系，利用|

CD

|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，由此可求曲线E的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用

OM

=

OA

+

OB

，点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂），设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，利用韦达定理及点M在曲线E上，可求k²=2，进而可计算x₁x₂+y₁y₂，

x12+y12

×

x22+y22

的值，从而可求cos＜

OA

，

OB

＞的值．

解答：解：（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由

CP

=

2

PD

，得（x-m，y）=

2

（-x，n-y），
∴

x-m=- 2 x y= 2 (n-y)

，∴

m=( 2 +1)x n= 2 +1 2 y

…（2分）
由|

CD

|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，
∴（

2

+1）²x²+

( 2 +1)2

2

y²=（

2

+1）²，
整理，得曲线E的方程为x²+

y2

2

=1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

OM

=

OA

+

OB

，知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．
设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得（k²+2）x²+2kx-1=0，
则x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

．…（7分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

，
由点M在曲线E上，知（x₁+x₂）²+

(y1+y2)2

2

=1，
即( -

2k

k2+2

)2+

( 4 k2+2 )2

2

=1，解得k²=2．…（9分）
这时x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₂+x₂）+1=-

3

4

，

x12+y12

×

x22+y22

=4-2[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+（x₁x₂）²=

33

16

，
∴cos＜

OA

，

OB

＞=

x1x2+y1y2

x12+y12 × x22+y22

=

- 3 4

33 16

=-

33

11

．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查向量的数量积，解题的关键是确定动点坐标之间的关系，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理解题．