Question

已知奇函数f(x)=1+

m

4x+1

．
（1）求m的值；
（2）讨论f（x）的单调性，并加以证明；
（3）解不等式f（x-1）+f（2-3x）＞0．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数定义有f（-x）+f（x）=0，由此可求得m值；
（2）定义法：设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，由函数单调性的定义可判断函数单调性；
（3）由函数奇偶性、单调性可去掉不等式f（x-1）+f（2-3x）＞0中的符号“f”，从而得到具体不等式，解出即可；

解答：解：（1）f(x)=1+

m

4x+1

，
因为f（x）为奇函数，所以f（x）+f（-x）=0，
即1+

m

4x+1

+1+

m

4-x+1

=0，2+

m

4x+1

+

m•4x

1+4x

=0，2+

m(1+4x)

1+4x

=0，2+m=0，m=-2． 
（2）设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

4x1+1

-(1-

2

4x2+1

)=

2

4x2+1

-

2

4x1+1

=

2(4x1-4x2)

(4x1+1)(4x2+1)

．
因为y=4^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
所以4x1＜4x2，所以4x1-4x2＜0，
又4x1+1＞0，4x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）是R上的增函数．      
（3）因为函数f（x）为增函数又是定义在R上的奇函数，
所以f（x-1）＞f（3x-2），
所以x-1＞3x-2，解得x＜

1

2

，
所以原不等式的解集为{x|x＜

1

2

}．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断及其应用，考查解不等式，对于抽象不等式的求解往往利用函数性质去掉符号“f”，转化为具体不等式解决，体现转化思想．