Question

定长为3的线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足

NP

=2

PM

．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点P的轨迹设为曲线T，设△ABC是曲线T的内接三角形，其中A是T与x轴正半轴的交点．直线AB、AC斜率的乘积为-

1

4

，求证△ABC的重心G为定点．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设M（x₀，0），N（0，y₀），P（x，y），由

NP

=2

PM

得，（x，y-y₀）=2（x₀-x，-y），由此能求出点P的轨迹方程．
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），直线BC的方程为y=kx+b，代入椭圆方程，利用直线AB、AC斜率的乘积为-

1

4

，即可得出结论．

解答： 解：（1）设M（x₀，0），N（0，y₀），P（x，y），
由

NP

=2

PM

得，（x，y-y₀）=2（x₀-x，-y），
所以x₀=1.5x，y₀=3y，
又因为x₀²+y₀²=9，所以（1.5x）²+（3y）²=9，
化简得：

x2

4

+y2=1，这就是点P的轨迹方程；
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），直线BC的方程为y=kx+b，
代入椭圆方程可得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0
所以x₁+x₂=-

8kb

1+4k2

，x₁x₂=

4b2-4

1+4k2

，
所以y₁y₂=

b2-4k2

1+4k2

，
因为直线AB、AC斜率的乘积为-

1

4

，
所以

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-

1

4

，
所以-4y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4，
所以-4×

b2-4k2

1+4k2

=

4b2-4

1+4k2

+

16kb

1+4k2

+4，
所以b=0或b=-2k，
b=0，则x₁+x₂=0，y₁+y₂=0，所以△ABC的重心G（

2

3

，0）为定点．
b=-2k，则直线BC的方程为y=kx-2k过（2，0），不符合题意．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，难度大．