Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD．
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．
（2）当a=4时，求D点到平面PBC的距离．
（3）当a=4时，求直线PD与平面PBC所成的角．

Answer 1

分析：（1）由两组线线垂直即可判定线面垂直，而已有BD⊥PA，所以只需BD⊥AC则可判定BD⊥平面PAC，故a=2即可．
（2）先由平面PBC中的

PB

、

BC

确定它的一个法向量

n

，然后求出

DC

在法向量

n

上的投影长，即D点到平面PBC的距离．
（3）先由

DP

与

n

的夹角确定它们所在直线的夹角，则该角的余角即为直线PD与平面PBC所成的角．

解答：解：以A为坐标原点，AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
（1）当a=2时，BD⊥AC，又PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．故a=2．
（2）当a=4时，D（4，0，0）、B（0，2，0）、C（4，2，0）、P（0，0，2），
则

PB

=（0，2，-2），

BC

=（4，0，0），

DC

=（0，2，0）．
设平面PBC的法向量

n

=（x，y，z），则

n

•

PB

=0，

n

•

BC

=0，
即（x，y，z）•（0，2，-2）=0，（x，y，z）•（4，0，0）=0，
得x=0，y=z，不妨取y=1，故

n

=（0，1，1）．
则D点到平面PBC的距离d=

| n • DC |

| n|

=

2

．
（3）由（2）知，

DP

=（-4，0，2），
则cos＜

DP

，

n

＞=

DP • n

| DP | | n |

=

10

10

＞0，
设＜

DP

，

n

＞=α，直线PD与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=sin（

π

2

-α）=cosα=

10

10

．
所以直线PD与平面PBC所成的角为arcsin

10

10

．

点评：本题主要考查向量法解决立体几何中的距离及夹角问题．