Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n是数列{a_n}的前n项和，且4S_n=a_n²+2a_n-3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知b_n=2ⁿ，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer 1

分析：（1）由题意知a1=s1=

1

4

a

2 1

+

1

2

a1-

3

4

，解得a₁=3，由此能够推出数列{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）由题意知T_n=3×2¹+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ，2T_n=3×2²+5×2³+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹，二者相减可得到T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

解答：解：（1）当n=1时，a1=s1=

1

4

a

2 1

+

1

2

a1-

3

4

，解出a₁=3，
又4S_n=a_n²+2a_n-3①
当n≥2时4s_n-1=a_n-1²+2a_n-1-3②
①-②4a_n=a_n²-a_n-1²+2（a_n-a_n-1），即a_n²-a_n-1²-2（a_n+a_n-1）=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴数列{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）T_n=3×2¹+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ③
又2T_n=3×2²+5×2³+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹④
④-③T_n=-3×2¹-2（2²+2³++2ⁿ）+（2n+1）2ⁿ⁺¹-6+8-2•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ⁺¹=（2n-1）•2ⁿ+2

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．