Question

(经典回放)如图所示，给出定点A(a，0)(a＞0)和直线l：x＝－1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．

Answer 1

答案：
解析：

解析：依题意，记B(－1，b)(b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y＝0和y＝－bx．设点C(x，y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．根据点到直线的距离公式得 　　|y|＝．① 　　依题设，点C在直线AB上，故有y＝(x－a)．由x－a≠0，得 　　b＝．② 　　将②式代入①式得y2[]＝[]2． 　　整理得y2[(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2]＝0． 　　若y≠0，则(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2＝0(0＜x＜a)； 　　若y＝0，则b＝0，∠AOB＝π，点C的坐标为(0，0)，满足上式． 　　综上，得点C的轨迹方程为(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2＝0(0≤x＜a)． 　　∵a≠1， 　　∴＝1(0≤r＜a)．③ 　　由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段； 　　当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段．