Question

13．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且$\frac{acosB+bcosA}{c}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$sinC．
（1）求cosC；
（2）若a=6，△ABC的面积为8$\sqrt{5}$，求c．

Answer 1

分析 （1）利用射影定理，结合条件，求出sinC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，即可求cosC；
（2）若a=6，△ABC的面积为8$\sqrt{5}$，求出b，利用余弦定理求c．

解答 解：（1）∵锐角△ABC中，$\frac{acosB+bcosA}{c}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$sinC，
∴1=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$sinC，
∴sinC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cosC=$\sqrt{1-\frac{5}{9}}$=$\frac{2}{3}$；
（2）∵a=6，△ABC的面积为8$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}×6×b×\frac{\sqrt{5}}{3}$=8$\sqrt{5}$，
∴b=8，
∴c=$\sqrt{36+64-2×6×8×\frac{2}{3}}$=6．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．