Question

在△PMN中，|MN|=6，．建立适当坐标系，
（1）求直线MP和直线NP的方程；
（2）求以M，N为焦点且过P的椭圆方程．

Answer 1

解：（1）如图，以直线MN为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
设所求椭圆方程为+=1，焦点为M（-3，0），N（3，0）
由tan∠PMN=，tanα=tan（π-∠MNP）=2，
得直线PM：y=（x+3）①，
直线PN：y=2（x-3）②，
（2）将①，②联立，解得点P（5，4）．
法1：∴|PM|=4，|PN|=2，
又2a=|PM|+|PN|，解得a=3
∴b²=a²-c²=36，故所求椭圆方程为：+=1．
法2：设椭圆方程为+=1，点P（5，4）代入得a=3，
故所求椭圆方程为+=1．
分析：（1）以直线MN为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，利用tan∠PMN=，tan∠PNM=-2即可求得直线MP和直线NP的方程；
（2）由（1）可求得点P（5，4），
法1：求得|PM|，|PN|，利用椭圆的定义即可求其方程；
法2：设椭圆方程为+=1，点P（5，4）代入即可求之．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线的一般方程，考查分析与运算能力即规范的书写表达能力，属于中档题．