Question

如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．
（Ⅰ）求证：BC∥平面DAE；
（Ⅱ）求四棱锥D-AEFB的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵CF∥DE，FB∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E
∴面CBF∥面DAE，又BC?面CBF，
所以BC∥平面DAE
（Ⅱ）取AE的中点H，连接DH，
∵EF⊥ED，EF⊥EA∴EF⊥平面DAE
又DH?平面DAE∴EF⊥DH，
∵
∴DH⊥面AEFB，
所以四棱锥D-AEFB的体积
分析：（Ⅰ）根据CF∥DE，FB∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E，满足面面平行的判定定理，则面CBF∥面DAE，又BC?面CBF，根据面面平行的性质可知BC∥平面DAE；
（Ⅱ）取AE的中点H，连接DH，根据EF⊥ED，EF⊥EA，则EF⊥平面DAE，又DH?平面DAE，根据线面垂直的性质可知EF⊥DH，再根据，则DH⊥面AEFB，根据体积公式即可求出四棱锥D-AEFB的体积．
点评：本题主要考查棱锥的体积公式和线面平行的判定定理的应用．考查对定理的掌握情况和对基础知识的综合运用．