Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E、F分别为A₁B₁、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：DF∥平面ACE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由BC⊥侧面ABB₁A₁，可得AE⊥BC；再利用勾股定理证明AE⊥EB；由直线和平面垂直的判定定理 AE⊥平面BCE．（Ⅱ）连BD交AC于O，连OE，利用三角形中位线性质可得EF∥

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B₁D₁，且EF=

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B₁D₁；再由DO∥

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B₁D₁，且DO=

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B₁D₁，可得四边形DOEF是平行四边形，可得 DF∥OE．再利用直线和平面平行的判定定理可得DF∥平面ACE．

解答：解：（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥侧面ABB₁A₁，
∵AE?侧面ABB₁A₁，∴AE⊥BC．…（3分）
在△ABE中，AB=2a，AE=BE=

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a，∴AB²=AE²+BE²，∴AE⊥EB．…（6分）
又BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE．      …（7分）
（Ⅱ）证明：连EF、B₁D₁，连BD交AC于O，连OE，
∵E、F分别为A₁B₁、A₁D₁的中点，∴EF∥

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B₁D₁，且EF=

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B₁D₁，
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DO∥

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B₁D₁，且DO=

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B₁D₁，
∴DO∥EF，且 DO=EF，∴四边形DOEF是平行四边形，…（10分）
∴DF∥OE．     …（11分）
又∵OE?平面ACE，DF不在平面ACE内，∴DF∥平面ACE．  …（13分）

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．