Question

已知抛物线与x轴交于A（-1，0）和B（3，0）两点，且与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴方程和顶点M坐标；
（3）求四边形ABMC的面积．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）已知了三点的坐标，可用交点式二次函数通式来设抛物线的解析式然后将C点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出对称轴方程及M的坐标（可用配方法进行求解）．
（3）由于四边形ABMC不是规则的四边形，因此可过M作x轴的垂线，将四边形ABMC分成梯形和两个直角三角形三部分来求．

解答： 解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．
将C点坐标代入后可得：
3=a（0+1）（0-3），
即a=-1
因此抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；
（2）由（1）的抛物线的解析式可知：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
因此抛物线的对称轴方程为：x=1；顶点M的坐标为：M（1，4）．
（3）过M作MN⊥x轴于N，
则有S_{四边形ABMC}=S_△AOC+S_△BMN+S_梯形MNOC
=

1

2

•OA•OC+

1

2

•BN•MN+

1

2

（OC+MN）•ON
=

1

2

×1×3+

1

2

×2×4+

1

2

×（3+4）×1=9，
因此四边形ABMC的面积为9．

点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及图形面积的求法．当图形的形状不规则时，可将图形分割成几个规则图形，然后利用这些图形的面积的“和，差”关系来求解．